Hiperbolas

Una hiperbolaa es el conjunto de puntos en un plano cuya diferencia de circumstancia a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos son los focos de la hiperbola. La linea que une los focos es el eje focal. El punto medio entre los focos es el centro.

Excentricidad de una elipse

La formula consta de 

Y  es en donde a es el semieje mayor y c es la distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos. La excentricidad es la razon de c y a. Mierntras mas grande sea c, comparado con a, los focos estaran mas lejos del centro.

La Elipse

La elipse es un conjunto de todos los puntos en un plano cuya distancia a dos puntos fijos en el plano tienen una suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse. 

Para poder comprender las elipses mejor, las clasificaremos en: Elipses con centro (0,0) y Elipses con centro (h,k). A continuacion les mostrare las dos tablas que nos ayudaran a identificar los datos de ambos tipos de elipse.

La Parabola

La parabola es el conjunto de puntos del plano que esta a la misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz.

 Formula:

 d=raiz cuadrada de (x1-x2)^2+(y1-y2)^2

 

Explicaciones

1.

2.

 

Ejemplos:

1.

2.

Geometria Analitica

• Secciones Conicas

- es la interseccion de un plano y un cono

- dependiendo de la interseccion, se obtiene una conica determinada

• Secciones conicas

- es la interseccion de un plano, se obtiene una conica determinada

*La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

*La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

*La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

*La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie conica.

Funciones trigonométricas inversas

En este post vemos la teoria necesaria para poder entender lo basico de este tema y asi poder realizar el ejercicio deseado. a estas funciones se les conoce como arcosen, arccos, arccsc, arctan, arccot & arcsec.

Funciones de cot,sec y csc

A continuacion las funciones de cotangente, secante y cosecante:


A) Curvas csc y sec

- El periodo de las funciones:
y= a csc Kx & y= a sec Kx
(k>0)
- su period es 2pi /K


B) Curvas tan y cot

-Las funciones:
y= a tan Kx
y= a cot Kx (K>0)
- su periodo es pi/K

Teorema sobre Amplitudes,Periodos y Desplazamiento de Fase

El Teorema sobre Amplitudes, Periodos y Desplazamiento nos ayuda a leer mejor la grafica y/o a ver la altura de la grafica antes de hacer el ejercicio.  

 

1.Formulas:

Y=a•sen•bx

Y=a•cos•bx

Y=a•sen(bx+c)

Y=a•cos(bx+c)

2.Para numeros reales a y b diferentes de cero; entonces la grafica tiene amplitud |a| y periodo 2pi/|b| y el desplazamiento de fase es -c/b.

3.Un intervalo que contenga exactamente un ciclo se puede hallar al resolver la desigualdad: 0<=bx+c<=2pi.

4.Ejemplo:

1.f(x)=3sen•2x

Amplitud=> |3|=3

Periodo=>2pi/2=pi

2.y=2sen•1/2x

Amplitud=>|2|=2

Periodo=>2pi/1/2= 2pi•2/1=4pi

3.y=3sen•2x

Amplitud=>|3|

Periodo=>2pi/2= pi

4.y=3sen(2x+pi/2)

Amplitud:|3|=3

Periodo:2pi/|2|=pi

1-3

4

Graficas Trigonometricas

Para aprender sobre este tema debemos estudiar a forma de la gráfica de cada función trigonométrica. A continuacion veras algunas gráficas de funciones trigonométricas.



Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos(periodo).La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Las graficas se muestran a partir de circulo unitario:




Gráfica de la Función Seno del ángulo



Gráfica de la Función Coseno del ángulo



Gráfica de la Función Tangente del ángulo

Ecuaciones Trigonomeetricas

En este tema aprendimos a realizar ecuaciones trigonométricas conociendo siempre los factores que para mi hay q mantener en mente al realizar ejercicios:

-utilizar raiz cuadrada para cancelar un exponentes al cuadrado

-factorizar

-igualar a cero y encontrar los ángulos approx

-racionalizar

Formulas de Doble Angulo

Las formulas de Doble Angulo son:

sen 2x = 2 sen x cos x
cos 2x = 2 cos² x - 1
tan 2x =  2 tan x  
              1-tan² x 
         
Como lo demostramos?

SENO

sen 2x = 2 sen x cos x
sen (x+x) = sen x cos x + cos x sen x
= 2 sen x cos x


COSENO

cos 2x = cos (x+x)
   cos x cos x -sen x sen x
   cos² x - sen² x
   cos² x - (1-cos² x)
   cos² x - 1+ cos² x
= 2 cos² x - 1


TANGENTE

tan 2x = 2 tan x
              1-tan² x 

tan (x+x) = tan x + tan x
                  1- tan x tan x
= 2 + tan x
   1- tan² x         


ACONTINUACION VARIOS EJEMPLOS

Formulas de mitad de angulo o semi angulo

Las formulas de mitad de angulo o semiangulo son unas de las menos complejas para aprender ya que solo son 3 formulas. 

    FORMULAS

 Sen u/2=+-raiz cuadrada de 1-cosu/2

 Cos u/2=+- raiz cuadrada de 1+cosu/2

 Tan u/2=1-cosu/senu

Ejemplos:

  #1

1. Elegir formula

2. Sustituir los valores

3. Resolver

  

  

   #2

  

    

Fórmulas de Adición y Sustracción/ Fórmulas de Cofusión

A. Fórmulas de Adición y Sustracción

•cos(u-v)=cos u cos v + sen u sen v

•cos(u+v)=cos u cos v - sen u sen v

•sen(u+v)=sen u cos v + cos u sen v

•sen(u-v)=sen u cos v - cos u sen v

•tan(u+v)= tan u + tan v

                 1-tan u tan v

•tan(u-v)= tan u - tan v  

               1+ tan u tan v

B. Fórmulas de Confusión

* Si u es un número o la medida en radianes de un ángulo entonces:

En el proximo link podras ver las identidades graficadas en 3D donde te ayudara a visualizar la relaciones matematicas; http://matetics-unknown.blogspot.com/2013/02/formulas-de-adicion-y-sustraccion.html

Estos son algunos ejemplos discutidos en clase:

Demostración de identidades trigonométricas

Buenas Noches, durante la clase de hoy estuvimos discutiendo los criteros para demostrar identidades trigonometricas y como demostrarlas. Los 3 criterios son: 

1. Elegir un miembro de la ecuación con objetivo de transformarlo en el otro miembro de la ecuación.
2. Use el algebra y las identidades ya conocidas para cambiar con el que empezó.
3. Escribir las funciones en términos de seno y coseno.

Con estos criterios dados en clase es que le damos comienzo a las demostraciones. Aquí un video donde te explican las diferentes formulas o identidades que se utilizan durante todo este tema.--> http://youtu.be/flv8wA1w2Po?t=33sAlgunos ejemplos son los siguientes:

1)

2)